{An}满足A1=2，A（n+1）=2+n/An,求证An<√n+1

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/19 16:14:38
那啥，拜托了，俺现在高一升高二，能否用放缩法解。谢谢了。
An<√(n+1)+1
晕，题目打错了，是证明小于根号（n+1)加上1
A(n+1)=2+[n/A(n)]是这个
其它的应该没问题吧。
A右下角的是角标

如果有同志牛B的猜出An数列的表达式也行。。。然后用数学归纳法证明也行。。不过听说很难猜。。。

A1=2，
A(n+1)=2+[n/A(n)]

对n>=2证明如下结论
√(n)+1=<A(n)<√(n+1)+1
n=2时
√2+1<=5/2<√3+1
成立
√(k)+1=<A(k)<√(k+1)+1
设n=k成立
n＝k+1时
A(k+1)=2+[k/A(k)]
√(k+1)+1<=2+k/[√(k+1)+1]<2+[k/A(k)]=<2+k/[√(k)+1]<1+√(k+2)

√(k+1)+1<=2+k/[√(k+1)+1]
√(k+1)－1<=k/[√(k+1)+1]
[√(k+1)－1][√(k+1)+1]<=k
k<=k
成立

2+k/[√(k)+1]<1+√(k+2)
k/[√(k)+1]<√(k+2)-1
k/[√(k)+1]<(k+1)/[√(k+2)+1]
k[√(k+2)+1]<(k+1)[√(k)+1]
k[√(k+2)]<(k+1)[√(k)]+1
kk(k+2)<k(k+1)^2+1+2(k+1)[√(k)]
0<k+1+2(k+1)[√(k)]
显然！
所以对n>=2恒有
√(n)+1=<A(n)<√(n+1)+1
n=1时也有
A(n)<√(n+1)+1
OK了！

根号内的n+1所...
我郁闷

n=1就不成立

n=1就不成立啊，难道2<√3?

n=1时成立。设n=k时成立，那么n=k+2，A（k+2）=2+（k+1）/A（k+1）=2+（k+1）*An/（2An+n）<根号（n+3)加上1 成立就可以了
又设n=k-1时成立，那么n=k+1，求出A（k+1）=？？？（自己求了）〈根号（n+2)加上1成立就可以了，这种归纳法，可以问一下你的老